Запятой не надо: ходить (как?) едва, то есть с трудом. Грамматический способ связи в словосочетании - управление, едва - наречие. Это я как филолог говорю с университетским образованием и тридцатипятилетней лингвистической практикой.
Евгений Викторович, прочитать Ваше четверостишие можно двояко:
А) Мы отличны от обезьян Тем, что можем ходить едва: Человек постоянно пьян – Обезьяна всегда трезва.
= Человек отличается от обезьяны тем, что он едва ходит, потому что постоянно пьян, а обезьяна может ходить(?) прекрасно, потому что всегда трезва. Здесь меня смутило это "может ходить" по отношению к обезьяне. Думала, что имеется в виду всё-таки прямохождение как отличительная черта человека, и что шутка - в этом. Обезьяна всё-таки не совсем "ходит" в нашем понимании, она на четырёх передвигается... )
Б) Мы отличны от обезьян Тем, что можем ходить, едва: Человек постоянно пьян – Обезьяна всегда трезва.
= Человек едва ли отличается от обезьяны тем, что может ходить (в смысле - ходить на двух), потому что он постоянно пьян, т.е. передвигается, как обезьяна, на четырёх )